|層次二 A (山) I 一→|層次二 B (L劃
↓三><三7 ↓
|層次三 A (L3A) I '|層次三 B (L劃
圖 6
van
Hiele 圖形樣式思考層;欠原案1.1之 bm1 自Ll :
MLl -3
(Ll-7) ，到 L2A: ML2-1 (L2-3);
原案1.4 之 Mg12 由Ll :
MLl-1
(Ll -1)' 到 L2A:ML2-1 (L2-3)
，到 L2B:ML2-2
(L2-1) 及 ML2-3(L2-10) ;
馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究
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原案1.7之 bh2 由Ll :MLl -2( Ll -5) 、 MLl -5( Ll -3 )，到 L2A:
ML2-1 (L2-3)
,到 L2B
: ML2-2
(L2-1) 、 ML2-4(L2-4 )
，到 L3B:ML3-1
(L3-1) 及 ML3-3(L3-
7) ;原案 7 .4之 Mghl 由Ll :
MLl -3
(Ll-7)，到 L2A: ML2-1
(L2-3)' 到 L2B:ML2-2
(L2-1) 、 ML2-3(L2-
1O) ，到 L3A: ML3-1
(L3-1) 及 ML3-2 (L3-2) 。三、 van Hiele 圓形樣式思考層;欠的特性
本文發現 van Hiele 圓形樣式思考層次也有 Crowley
( 1987
)描述 van Hiele 幾 何思考層次之次序性、內出↑生與外出性，以及語言性;至於 Crowley 指卅與教學 有關之提升↑生及不配合生，國非本文探討之範禱，故不予討論。(一)次序性
學童解決圓形樣式問題之思考層次是循序漸進的，後一個層次的概念是來門 於前一例層次的概念。例如原案 1 .4之 Mgl2 達層次二 B 'Mg12 許先把圓形的外 哥兒視為「一層、二層、三層」等所組成之整體(Ll -I); 此層次一之概念引導 Mgl2 發展卅「圖 1 一層 (2 個點) ，圖 2 二層 (3 個點) ，圖 3 三層 (4 個點) , J 層次二 B 之概念，而列卅 '2 ， 3+3 ， 4+4+4" ﹒」解題過程，其反應卅 Mgl2 能比較連續項差異 (L2-3 )、定義每項結構陷的關係 (L2-1)' 以及能以未歸納之 數學式或文字表示樣式結構 (L2- 1O)。原案 5.2 之 Mbl2 達層次二 A ，一開始 Mb也 不思考圓形特徽，直接計數(Ll-7) '5 徊， 8 俐， 11 個 J 此層次一之概念引導 Mbl2 發展卅， +3
J
層次二之概念，而列卅 '5+3-8'8+3-11 ,11+3-14
,...J 解題過程，其反應們Mbl2 能比較連續項差異 (L2-3 )。原案 7.5 之 Mbml 達層次 三 A ， Mbml 許先視圓形為「差2 個...的長方形J (Ll-5)
，並將長方形之長、寬命名為「橫、直J (Ll-3); 此層次一之概念引導 Mbml 發展卅「而積 2
J
層次二之概念，而列卅 '7X6-42'
42-2-40'
...22X21-2J
解題過程;其反應卅 Mbml 能定義每項結構惰的關係(L2-1)。進一步此層次二之概念引導Mbml 發展卅「以 (n+l)
X (n+2)
-2 求第 n 個圓形黑點數」層次三的概念，其反應 卅 Mbml 能以公式或定義分類樣式(L3-1) 及處理遠處問題(L3-7)。此三件原案 皆說明，後一個層次的概念必先有前一個層次某個概念的引導才能發生，此與Crowley
(I 987)所謂之次序性吻合。(二)肉因性與外因性
在某一圓形樣式思考層次的性質是屬於內在的性質，到了下一何層次，此 一性質就有可能成為外顯的性質。在層次二 B 之學生能比較樣式 'I'連續項的差異
(L2-3)
，也能定義每項結構闊的關係(L2-1) ，甚至自~J;未歸納之數學式或文字表示樣式結構 (L2-10) ，擁有此層次者極有潛力將其圓形樣式之思考提升到層次 三。例如原案 1 .4之 Mgl2 將圓形以數學式表示如c2 ， 3+3 ， 4+4+4 ， ···J' 原案 5 .4之 bh3 將樣式'I'T 圖以數學式表示如 c5 ， 5+3 ， ···5+3+3+3+3+3
+3+3+3+丸，原案 5.5 之 Mbhl 亦將 T 圖以文字描述如「第五個橫 ....3 加 2 加 2 加 2 加 2 ，直﹒ ·2 加 1 加 I !J日 1 加 I J 。
上述三位學生皆有屬於層次二B 之 L2-3 、 L2-1 及 L2- 1O行為，他們所呈現卅
「怎樣想、到的」解題過程，是易於繼續發展為明確的規則，而形成數學發現。例 如 Mgl2 之數學式容易被引導至「圖一。2 ，圖二:
3 X2
'圖三 :4X3 ， ...J 而讓人意識到圓形何數干附立置聞之關f系，甚至發展卅「圖~OO: 1O IX lOO ，或 圖 n:(n+l) XnJ 之「函數概念」巾的亦易被引至「圖一巧，圖二:5+3
'圖 三 :5+3X2 ，· .J
'而意識到每一個新圖是連續I卅日了幾次差]/[1或發現圓形何 數和位置問之關f系，甚至發展卅「圖 ~OO: 5+3X99 ，或圖 n:S+3X (n-I)J
之「函數概念」。不日|刮的Mbhl 也可能發展卅「第一00個橫線是 3 加 100 次的 2 ， 直線是 2 加 100 次的 I J 之「函數概念J 這些皆是屬於層次三以公式或定義分類 樣式 (L3-1) 、處理遠處問題 (L3-7)之行為。因此，c 函數概念」的性質在層次 二 B 可能不明顯，但在層次三卻是明確可知的，
JJIJ
C 函數概念」是圓形樣式思考 層次二 B 內在的性質，可能變為下一例層次( JJIJ層次三)的外在性質，此與 Crowley(1 987)所謂的內出性與外出性吻合。
(三)語言性
每一個圓形樣式思考都有屬於該層次門己的語言、符號，以及這些符號之間 的關聯系統。例如屬於層次二 B 階段的語言、符號，以及它們之間的關聯系統，
必須經過修正，才能符合層次三 A 或三 B 相同的屬於層次三 A 者，亦須修正，
才能符合層次三 B 。
在層次二 B 之學生有的能以未歸納之數學式或文字表示樣式結構 (L2-10) ,
馬秀蘭 以 van Hiele 理論探討圓形樣式思考層次之研究
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例如原案 5 .4之 bh3 將 T 圖以數學式表示如 c5·5+3···5+3+3+3+3+3 +3+3+3+ 丸，原案 5 .5之 Mbhl 亦將 T 圖以文字描述如「第五伽橫 ....3 加 2 加 2 加 2 加 2· 直 ....2 加 1 加 1 加 1 加 I
J
。這些數學式或文字描述就是屬於層 次二 B 的獨特語言，其必須經過修正如「圖 ~OO: 5+3+3...+3· 共(100
I) 次 3
J
或「第一00個橫 ....3 加 2 加 2· 八直 ...2 加 I !J日 I· 八而加 2 、加 1 共 (100-1) 次 J•
JJIJ對先前發現之性質給予逐一列舉(1.3-2). 才是屬於 層次三 A 正確的語言。進一步修正如「圖 ~OO: 5+3X99J
或「第一00個橫是 3+2X99· 直是 2
+ I X 99 J •
JJIJ能處理遠處問題(1.3- 7) .甚至修正如「圖 n5+3X
(n-I)J 或「吉思 n 伽|橫是 3+2X (n-I). 直是 2+ I X (n - I ) J •
JJIJ能以 公式或定義分類樣式(1.3-1). 才是屬於層次三 B 正確的語言。在層次三 A 之學生會對先前發現之性質給予逐一列舉(1.3-2). 例如原案 7 .4 之 Mghl 將樣式 'I'第一00個圖j;J數學式加上文字描述表示如 C4+
[(4+2) +
[(4+ 2) +2J +...+ [[[(4+ 2) +2J +2J +2J
+. .] 第一00個的 答. [ J 共 (100-1 )次」。這就是屬於層次三 A 獨特語言，其亦旦、須經過多正如「第一 00 俐: 4XIOO+2X4950